重庆大学2003年高等代数考研真题试卷

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重庆大学2003年硕士研究生入学考试试题

高等代数试卷

一、 填空题（36分）

1．设n阶方阵A满足，其中E是单位矩阵，，则 _____________

2．设A、B均为n阶方阵，，为矩阵A的伴随矩阵，则 ______

3．设，，则B = _____________________

4．设，其中为任意3维实向量，则线性变换在下的矩阵表示为_________________________________

5．设A是可逆矩阵，是A的一个特征值，则A的伴随矩阵一定有一个特征值为________

6．若方程无解，则 ________；若此方程有惟一解，则 _______

7．设，则 ______________________

8．向量组的秩等于__________，其一个最大无关组是________________

9．设，则向量y的长度 ______________

10．设n阶方阵A的秩，n阶方阵B的秩，则的解空间的维数等于___________________

二、 计算题（50分）

1．设n维向量，令，求对角矩阵和可逆矩阵P使得

2．设是5维Euelid空间的一组标准正交基，，其中，求的一组标准正交基

3．设，求A的初等因子和Jordan标准矩阵

4．设n阶方阵A满足，且，证明A相似于对角阵，并求的值

5．设是n阶方阵，，求矩阵的行列式值

三、 证明题（64分）

1．设是中的两个非平凡子空间，证明：在中存在向量使得；并在中举例说明此结论

2．设是n维线性空间的一组基，对任意n个向量，证明：存在惟一的线性变换T使得

3．（1）设A、B为n阶方阵，证明：的充要条件是的解均为的解

（2）设A、B为n阶方阵，，证明对于任意可以相乘的矩阵C均有

（3）若有自然数k使得，则

4．设A为n阶实对称方阵，

（1）若，则存在实（非负）整数r和可逆矩阵P使得

（2）记，给出S为的字空间的充分必要条件，并证明你的结论

5．设实二次型，是A的特征值，证明存在非零向量使得

6．设是三个多项式，证明：

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