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重庆大学2003年硕士研究生入学考试试题

高等代数试卷

一、    填空题(36分)

1.设n阶方阵A满足 ,其中E是单位矩阵, ,则 _____________

2.设A、B均为n阶方阵, , 为矩阵A的伴随矩阵,则 ______

3.设 , ,则B = _____________________

4.设 ,其中 为任意3维实向量,则线性变换 下的矩阵表示为_________________________________

5.设A是可逆矩阵, A的一个特征值,则A的伴随矩阵 一定有一个特征值为________

6.若方程 无解,则 ________;若此方程有惟一解,则 _______

7.设 ,则 ______________________

8.向量组 的秩等于__________,其一个最大无关组是________________

9.设 ,则向量y的长度 ______________

10.设n阶方阵A的秩 ,n阶方阵B的秩 ,则 的解空间的维数等于___________________

二、    计算题(50分)

1.  n维向量 ,令 ,求对角矩阵 和可逆矩阵P使得

2.  5Euelid空间 的一组标准正交基, ,其中 ,求 的一组标准正交基

3.  ,求A的初等因子和Jordan标准矩阵

4.  n阶方阵A满足 ,且 ,证明A相似于对角阵,并求 的值

5.  n阶方阵, ,求矩阵 的行列式值

三、    证明题(64分)

1.设 中的两个非平凡子空间,证明:在 中存在向量 使得 ;并在 中举例说明此结论

2.设 n维线性空间 的一组基,对任意n个向量 ,证明:存在惟一的线性变换T使得

3.(1)设A、Bn阶方阵,证明: 的充要条件是 的解均为 的解

2)设A、Bn阶方阵, ,证明对于任意可以相乘的矩阵C均有

3)若有自然数k使得 ,则

4.设An阶实对称方阵,

 1)若 ,则存在实(非负)整数r和可逆矩阵P使得

2)记 ,给出S 的字空间的充分必要条件,并证明你的结论

5.设实二次型 , A的特征值,证明存在非零向量 使得

6.设 是三个多项式,证明:

 

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