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1（10分）设 是互不相同的整数，求证多项式
在整系数多项式环中不可约。
2（10 分） 设 ，求 有重根的条件。
3 （10分）记
求 的根。
4（10分）（1）设 ， 。求 ；
（2）求 ，其中 。
5（15分）设 是 阶方阵 的伴随矩阵。证明：当 时， ；当 时， ；当 时， 。
6（10分）设 为 阶方阵， 为正整数，线性方程组 有解向量 且 。证明：向量组 线性无关.
7(10分)求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组表示：
。
8（10分）若下面线性方程组有解，常数应满足什么条件？
9（15分）已知矩阵
有特征值 ，矩阵 。其中 为实数， 为单位阵。
（1） 求 ，并说明 是否可以对角化；
（2） 矩阵 是否可以对角化，若能，求对角矩阵 ，使 .
10(15分)已知 均为三阶非零矩阵，且
（1） 证明 与 的特征值只能是0或1；并且0和1必是 与 的特征值；
（2） 若 是 关于 的特征向量，则 必是矩阵 关于 的特征向量。
11（15分）设
（1） 用正交变换化此二次型为标准型，并写出所有的正交变换；
（2） 是否有可逆矩阵 ，使得 。其中 是原二次型的矩阵。若有，求出它；若无，说明理由。
12 (20分)设 为有理数域上的三维向量空间， 为 到 的线性变换。若对 ，有 ，证明 线性无关。
数学分析
一、（20）设 在 上连续并且单调递减，证明函数
在 上单调递减。
二、（20）设 ， ，证明极限 存在并求之。
三、（20）设 是 个正实数，求 。
四、（10）区间上的连续函数如果在任何有理点上为零，证明此函数恒为零。
五、（20）证明 。
六、（20）研究函数 的连续性及可微性。
七、（20）求正向简单闭曲线 使积分 最大，并求出最大值。
八、（每小题10分，共20）
设 为平面上一个有界闭集，连续函数 将 一对一映为平面上点集 ，证明
（1） 也是有界闭集
（2） 的逆映射也是连续函数。
------------------郑州大学2009年高等代数考研真题试卷
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